epsilon-稠密部分拉丁方的完备化

组合学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方 P，何时可以将 P 完备化为一个拉丁方 L？在本文中，我们将研究 $\leq\epsilon$-稠密部分拉丁方类：即每个符号、行和列包含 $\leq\epsilon n$ 个非空单元格的部分拉丁方。Nash-Williams 关于图三角剖分的猜想促使 Daykin 和 H"aggkvist 猜想所有 $\leq(1/4)$-稠密部分拉丁方都是可完备化的。在本文中，我们将讨论先前尝试解决此猜想所使用的证明方法和结果，引入一种源自 Jacobson 和 Matthews 关于生成随机拉丁方论文的新颖技术，并利用该技术研究包含 $\leq dn^2$ 个单元格的 $\leq\epsilon$-稠密部分拉丁方。特别是，我们确立了所有 $\leq(1/5300)$-稠密的 $n \times n$ 部分拉丁方都是可完备化的，以及所有包含 $\leq(8.8\times 10^{-5}n^2)$ 个填充单元格的 $\leq(1/13)$-稠密 $n \times n$ 部分拉丁方也是可完备化的。这改进了 Gustavsson 的先前结果（要求 $\epsilon = d \leq 10^{-7}$）以及 Chetwynd 和 Haggkvist 的结果（要求 $\epsilon = d \leq 10^{-5}$ 且 $n$ 为偶数，$\leq 10^7$）。