表示部分拉丁方的棋盘上用车子系统分析（第二部分）

阶为 $n$ 的部分拉丁方可由尺寸 $n\times n\times n$ 的三维棋盘表示，其上至多含 $n^2$ 个互不攻击的车。在拉丁方中，一个子系统与其最远配偶所拥有的车数之和等于其容量。这蕴含了部分拉丁方补全的一个简单容量条件，实则即 Cruse 关于特征矩阵的必要条件。Andersen-Hilton 证明：除所列若干情形外，含仅 $n$ 个符号的阶 $n$ 部分拉丁方可补全。Andersen 对 $n+1$ 个符号证明了此结论，并列出须排除的情形。通过识别可被 $n$ 或 $n+1$ 个车过载的棋盘结构，可知由至多 $n+1$ 个互不攻击的车构成的棋盘导出的部分拉丁方可补全，当且仅当其满足容量条件。在拉丁方的一层中，远端对偶的两个子系统相互平衡。由此可给出层补全的必要条件，即平衡条件。对于 LSC，棋盘的每个一维子空间恰含一个车。因此，对于由部分拉丁方导出的 PLSC，我们考察特定的一维子空间集合，因其指示了缺失车的数量。