高维棋盘上的超车、超后和超后：安全方格的百分比

$n$ 皇后问题考虑在 $n \times n$ 棋盘上放置 $n$ 个皇后时，安全方格的最大数目；已知答案仅适用于较小的 $n$。Miller、Sheng 和 Turek 考虑 $n$ 随机放置的车，证明了安全方格的比例收敛于 $1/e^2$。我们对此进行一般化，解答在 $k$ 维棋盘上随机放置 $n$ 个超车和 $n^{k-1}$ 个线车时，安全方格的比例收敛于 $1/e^k$。我们证明了在二维棋盘上以bishops放置的安全方格比例收敛于 $2/e^2$。此问题更有趣且更难解决；虽然车在任何位置攻击相同数量的方格，但后手则不然。我们扩展到 $k$ 维棋盘，定义线后沿二维对角线攻击，超后沿由其在 $k-2$ 维子空间中对角线定义的 $k-1$ 维子空间攻击。随后我们结合车和后手的运动，考虑二维棋盘中的皇后，以及 $k$ 维棋盘中的线皇后和超皇后。