n×n 棋盘棋子力量的算术

在 n×n 棋盘上，不同棋子的移动总数满足少数显著的算术恒等式。象棋和国王的总对角线 mobility 与总 8-邻域 mobility 正比例，比例常数为 n/12，适用于所有 n。对于非平凡棋盘，仅当 n 在 {6, 8, 12} 时，两个不同棋子的力量才相等。我们将棋子在 n×n 棋盘上的力量定义为：在空棋盘上，均匀随机选取两个不同格子形成合法棋子移动的概率，并证明四个主要结果：（1）渐近二分法将棋子分类为 rider（$\Theta(1/n)$ 力量）和 leaper（$\Theta(1/n^2)$ 力量），并给出显式有理前导常数。（2）稳定排序定理识别阈值 $n^*=24$ 超越后，力量排序固定，并给出 4$\leq n \leq 24$ 范围内每一次转换的完整列表。（3）力量一致性的完全分类表明，仅在三个魔数棋盘 $n \in \{6, 8, 12\}$ 处出现一致性，伴随闭式恒等式 str(K)-str(N)=12/(n^2(n+1))，以及在 n=10 时国王与象的唯一近似一致性（间隙 0.0606%），并给出 str(B)/str(K)=n/12 的象-国王比例。（4）力量代数定理将任何复合军队的力量表达为四维原子向量的线性函数，并将不同单棋子之间的力量一致性限制在三个魔数棋盘内。作为直接结果，我们获得每个魔数棋盘上的显式力量保持单棋子替代规则，并将 8×8 棋盘表征为唯一非平凡棋盘——在该棋盘上，车的力量被另一棋子匹配。