通过可精确求解的松弛改进皇后控制的下界

皇后控制问题研究已超过 160 年，其提出如下问题：在 $m \times n$ 棋盘上最少可布置多少皇后，使它们攻击或占据每一个格子？我们提出了皇后控制问题的一个新颖松弛，并证明该松弛在正方形与矩形棋盘上均可精确求解。作为结果，我们在约 12.5% 的非平凡情形下改进了矩形棋盘的最佳已知下界。作为另一结果，我们利用基于凸包的一个优雅思想，简化并推广了正方形 $n \times n$ 棋盘在 $n \equiv \{0,1,2\} \mod 4$ 时最佳已知下界的证明。最后，我们展示了一些结果并作出若干猜想，旨在简化 $n \equiv 3 \mod 4$（且 $n > 11$）时正方形棋盘最佳已知下界那漫长复杂的证明。这些易于表述的猜想本身也可能具有独立意义。