$n$-皇后构型的数量

$n$-皇后问题旨在确定 $\mathcal{Q}(n)$，即在一个 $n \times n$ 棋盘上放置 $n$ 个互不攻击的皇后的方式数。我们证明存在常数 $\alpha = 1.942 \pm 3 \times 10^{-3}$，使得 $\mathcal{Q}(n) = ((1 \pm o(1))ne^{-\alpha})^n$。该常数 $\alpha$ 被刻画为 $\mathcal{P}([-1/2,1/2]^2)$（正方形上 Borel 概率测度空间）中一个凸优化问题的解。主要创新是引入 $n$-皇后构型的极限对象，我们称之为 queenon。这些在 $\mathcal{P}([-1/2,1/2]^2)$ 中构成一个凸集。我们定义一个熵函数，用以计数逼近给定 queenon 的 $n$-皇后构型的数量。上界使用了 Radhakrishnan 以及 Linial--Luria 的熵方法。对于下界，我们描述了一个随机算法，它构造出接近预先指定 queenon 的构型，且其熵与在上界中发现的熵相匹配。随后，$n$-皇后构型的计数通过最大化 queenon 空间中的（凹）熵函数得到。在此过程中，我们证明了 $n$-皇后构型的大偏差原理，可用于研究其典型结构。