n皇后问题
组合数学
2021-09-17 v1
摘要
著名的n皇后问题问的是：在一个n×n的棋盘上放置n个皇后，使得任意两个皇后都不能互相攻击，共有多少种方式。环面n皇后问题问的是同样的问题，但棋盘被视为环面表面，由Pólya于1918年提出。令Q(n)表示经典棋盘上n皇后构型的数目，T(n)表示环面n皇后构型的数目。Pólya证明了T(n)>0当且仅当n≡1,5 mod 6；更近的2017年，Luria证明了T(n)≤((1+o(1))ne^{-3})^n，并猜想当n≡1,5 mod 6时取等号。我们的主要结果是证明了该猜想，从而渐近地回答了Pólya的问题。此外，我们还证明了对于所有足够大的n有Q(n)≥((1+o(1))ne^{-3})^n，这一结果由Luria和Simkin独立证明。结合我们的主要结果以及Luria的一个上界，这完全解决了Rivin、Vardi和Zimmmerman于1994年提出的关于Q(n)和T(n)的猜想。我们的证明结合了一种随机贪心算法来计数“几乎”构型，以及一种利用近期发展的随机化代数构造和迭代吸收方法思想的复杂吸收策略。
引用
@article{arxiv.2109.08083,
title = {The $n$-queens problem},
author = {Candida Bowtell and Peter Keevash},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.08083},
year = {2021}
}