环面皇后独立问题

定义在$\mathbb{Z}_n^d$上的皇后，其允许的移动方向平行于$\mathbf{x}\in\{-1,0,1\}^d$，且移动距离任意。在$\mathbb{Z}_n^d$上最多可以放置多少个皇后，使得任意两个皇后都不互相攻击？在二维情况下，此问题由Pólya于1918年提出，并由Monsky于1989年解决。我们给出了$d$维情况下的首个已知结果，表明当$n$是5的倍数但不是25的倍数时，平凡上界$n^{d-1}$无法达到。我们证明了对于每个$d$，如何放置$n^{d-1}-O(n^{d-2})$个皇后使其互不攻击。