4 x n Chomp 的结构性结果：唯一扩展、双峰渐近结构与周期-112几何
摘要
我们给出了 n <= 3000 时 4xn Chomp 中所有 961,619,972 个 P-positions 的完整计算列表，这是通过一种新的 O(n^4) 影子数组筛法获得的，该筛法取代了先前工作中的 O(n^5) 哈希集方法。本文报告了三个结构性结果。首先，我们证明了唯一扩展性质：对于任意三元组 (a,b,c)，至多存在一个 d 值使得 (a,b,c,d) 是一个 P-position。该证明是一个利用 Chomp 走法结构的简短反证法，并可立即推广到所有 k 行 Chomp。其次，P-positions 表现出持续的双峰分解，分为 HIGH 和 LOW 两个子族，两者之间在 d/a 的每 a 中位数上存在清晰的间隙，该间隙从 n=500 时的 0.040 单调增长至 n=3000 时的 0.062，而 HIGH 子族始终维持 56.2% 的稳定密度。先前猜想的全局极限 d/a -> 2/9 被证明是一种混合伪影。第三，在每个族内，两个较大的行长度比在机器精度下满足精确的二次关系，且数值证据表明在 HIGH 族中 d/a -> 1/4，尽管幂律收敛拟合给出的渐近值约为 0.248，指数 alpha ~ 0.05，使得精确极限仍悬而未决。LOW 族极限 L3 ~ 0.183 不能被 3/16 很好地近似；分母不超过 2000 的最佳有理数是 20/109。代码和 n <= 500 的数据集可在 https://github.com/gargarnav/chomp-4xn-v2 获取。
引用
@article{arxiv.2604.25952,
title = {Structural Results for 4 x n Chomp: Unique Extension, Bimodal Asymptotic Structure, and Period-112 Geometry},
author = {Arnav Garg},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.25952},
year = {2026}
}
备注
11 pages, 2 figures. Code available at https://github.com/gargarnav/chomp-4xn. Dataset archived at https://doi.org/10.5281/zenodo.19543929