表示由子系统划分的拉丁方的棋盘上车的分布

阶为 $n$ 的拉丁方的 $d$ 维推广可视为大小为 $n\times n\times \ldots\times n$（$d$ 次）的棋盘，包含 $n^d$ 个格子与 $n^{d-1}$ 个互不攻击的车。每个格子由 $d$-元组 $(e_1,e_2,\ldots ,e_d)$ 标识，其中 $e_i \in \{1,2,\ldots ,n\}$。当 $d = 3$ 时，我们证明这样的棋盘恰好表示一种主类。由 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 上的集合族 $<E_1,E_2,\ldots ,E_d>$ 诱导的子系统 $T$ 是实的，若对每个 $i \in \{1,2,\ldots ,d\}$ 有 $E_i \subset \{1,2,\ldots ,n\}$。$T$ 的密度是其所含车数与 $T$ 中格子数之比。两个子系统间的距离是格子对之间的最小汉明距离。将 $<E_1,E_2,\ldots ,E_d>$ 中的 $k$ 个集合替换为其补集，得到子系统 $U$，且 $T$ 与 $U$ 的距离为 $k$。所有这些子系统（包括 $T$）构成棋盘的一个划分。我们证明在此划分中，$U$ 中的车数及 $U$ 的密度可由 $T$ 中的车数、$T$ 与 $U$ 的格子数以及 $(-1)^k$ 的值确定。我们考察了 $2$ 维和 $3$ 维情形下的子系统对 $(T,U)$，其中 $U$ 是距实 $T$ 最远且唯一的子系统。在此过程中，证明了一个二项式系数的新恒等式。