关于高维单纯象棋盘上非攻击车的最大数量

单纯车图 ${\rm \mathcal{SR}}(m,n)$ 是以 $\mathbb{N}^m$ 中坐标和为 $n$ 的向量为顶点、且两顶点对应向量恰有两个坐标不同则相邻的图。Martin 与 Wagner（Graphs Combin. (2015) 31:1589--1611）询问了 ${\rm \mathcal{SR}}(m,n)$ 的独立数，即放置在边长为 $n+1$ 的 $(m-1)$ 维单纯象棋盘上的非攻击车的最大数量。本文中我们解决了该问题并证明 $\alpha({\rm \mathcal{SR}}(m,n))=\big(1-o(1)\big)\frac{\binom{n+m-1}{n}}{m}$。我们还证明了对于车图的支配数有 $\gamma({\rm \mathcal{SR}}(m, n))= \Theta (n^{m-2})$。此外我们证明这些图是哈密顿的。循环单纯车图 ${\rm \mathcal{CSR}}(m,n)$ 是以 $\mathbb{Z}^{m}_{n}$ 中坐标模 $n$ 和为 $0$ 的向量为顶点、且两顶点对应向量恰有两个坐标不同则相邻的图。本文中我们确定了这些图的若干性质，如独立数、色数与自同构群。在其他结果中，我们还证明了计算给定 ${\rm \mathcal{CSR}}(m,n)$ 两顶点间距离关于 $n$ 与 $m$ 是 $\mathbf{NP}$-难的。