两个哈密顿圈并集中的独立集

受 Kneser 图中顶点不相交 Schrijver 图最大数量问题的启发，我们研究了如下函数，记为 $f(n,k)$：$n$ 元素集上哈密顿圈的最大数量，使得没有两个圈共享大小超过 $k$ 的公共独立集。我们主要关注 $k$ 为 $n$ 的线性函数即 $k=cn$ 时 $f(n,k)$ 的行为。我们展示了一个阈值现象：存在常数 $c_t$，使得当 $c<c_t$ 时，$f(n,cn)$ 被一个仅依赖于 $c$ 而不依赖于 $n$ 的常数所界；当 $c_t <c$ 时，$f(n,cn)$ 在 $n$ 中呈指数级大 $(n \to \infty)$。我们证明了 $0.26 < c_t < 0.36$，但未确定 $c_t$ 的精确值。为了得到下界，我们证明了一个技术性引理，对于作为两个哈密顿圈并集的图，该引理建立了其独立数与 $K_4$ 子图数量之间的关系。该引理的一个推论是，若一个具有 $n>12$ 个顶点的图 $G$ 是两个哈密顿圈的并集且 $\alpha(G)=n/4$，则 $V(G)$ 可被顶点不相交的 $K_4$ 子图所覆盖。