关于图独立多项式的最大实根、图的序以及星状树

设 $G$ 为 $n$ 阶简单图。图中的独立集是指一组两两不相邻的顶点。$G$ 的独立多项式为 $I(G,x)=\sum_{k=0}^{n} s(G,k) x^{k}$，其中 $s(G,k)$ 是 $G$ 中大小为 $k$ 的独立集数量，且 $s(G,0)=1$。显然，$I(G,x)$ 的所有实根均为负数。设 $\xi(G)$ 为 $I(G,x)$ 的最大实根。设 $H$ 为简单图。若对于区间 $[\xi(G),0]$ 内的每个 $x$ 都有 $I(H,x)\geq I(G,x)$，则记为 $G \succeq H$。我们指出 $G\succeq H$ 意味着 $\xi(G)\geq \xi(H)$。此外，当且仅当 $G\succeq H$ 且 $I(G,x)\neq I(H,x)$ 时，记为 $G\succ H$。我们证明，对于任意 $n$ 阶树 $T$，有 $S_n\succeq T\succeq P_n$，其中 $S_n$ 和 $P_n$ 分别为 $n$ 阶星图和路图。用 $T=T(n_1,\ldots,n_k)$ 表示一棵树 $T$，其拥有一个度数为 $k$ 的顶点 $v$，使得 $T\setminus v=P_{n_1-1}+\cdots+P_{n_k-1}$，即 $T\setminus v$ 是路 $P_{n_1-1},\ldots,P_{n_k-1}$ 的不交并。设 $X=(x_1,\ldots,x_k)$ 和 $Y=(y_1,\ldots,y_k)$，其中 $x_1\geq \cdots\geq x_k$ 且 $y_1\geq\cdots\geq y_k$ 为实数。若存在某个 $t\in\{1,\ldots,k\}$ 使得 $x_1=y_1,\ldots,x_{t-1}=y_{t-1}$ 且 $x_t>y_t$，则记为 $X\succ Y$。若 $X\neq Y$ 且对于每个 $j$ ($1\leq j\leq k$) 都有 $\sum_{i=1}^{j}x_i\geq \sum_{i=1}^{j}y_i$，则记为 $X\succ_{d}Y$。在所有具有固定顶点数的树中，我们证明若 $(m_1,\ldots,m_k)\succ_{d}(n_1,\ldots,n_k)$，则 $T(n_1,\ldots,n_k)\succ T(m_1,\ldots,m_k)$。我们猜想，当且仅当 $(m_1,\ldots,m_k)\succ (n_1,\ldots,n_k)$ 时（其中 $\sum_{i=1}^kn_i=\sum_{i=1}^km_i$），有 $T(n_1,\ldots,n_k)\succ T(m_1,\ldots,m_k)$。