树的独立多项式并非从 26 阶起总是对数凹的

图中的一个独立集是一组互不相邻的顶点。$G$ 中最大独立集的基数记为 $\alpha(G)$。图 $G = (V, E)$ 的独立多项式由 Gutman 与 Harary 于 1983 年引入，定义为 $$I(G;x) = \sum_{k=0}^{\alpha(G)}{s_k}x^{k}={s_0}+{s_1}x+{s_2}x^{2}+...+{s_{\alpha(G)}}x^{\alpha(G)},$$ 其中 $s_k$ 表示 $G$ 中大小为 $k$ 的独立集个数。Alavi、Malde、Schwenk 与 Erd\"os 于 1987 年提出的猜想称树的独立多项式是单峰的，且许多研究者认为该猜想可加强至相应的对数凹版本。然而，我们在文中通过引入独立多项式非对数凹的无穷族树，给出了反驳此设想的证据。