基于 AI 的树不完全性猜想方法

给定一个图 $G$，其独立序列为整数序列 $a_1,a_2,...,a_n$，其中 $a_i$ 表示大小为 $i$ 的顶点独立集的个数。在 80 年代，Alavi、Erdos、Malde、Schwenk 证明了该序列对一般图不一定是单调的，但 conjectured 当 $G$ 为树时该序列始终是单调的。随后，这一猜想自然被推广为独立序列应满足对数凹性，即 $a_i^2$ 始终位于 $a_{i-1}a_{i+1}$ 之上。这一猜想持续了多年，直到 2023 年，Kadrawi、Levit、Yosef 和 Mizrachi 证明了恰有两棵 26 个顶点的树，其独立序列不满足对数凹性。本文采用由 Charton、Ellenberg、Wagner 和 Williamson 开发的 AI 架构 PatternBoost 来训练机器寻找不满足对数凹性的反例。我们将讨论这一方法的成功之处——发现数万个顶点数从 27 到 101 的新的不满足对数凹性的反例——以及一些引人入胜的失败。