若干复合图的独立多项式单峰性

令 $I(G;x)$ 表示图 $G$ 的独立多项式。本文研究若干复合图 $G$ 的 $I(G;x)$ 单峰性质。给定两个图 $G_1$ 和 $G_2$，令 $G_1[G_2]$ 表示 $G_1$ 和 $G_2$ 的字典积。假设 $I(G_1;x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i$ 且 $I(G_2;x)=\sum_{i\geq0}b_ix^i$，其中 $I(G_2;x)$ 是对数凹的。我们证明：(i) 若 $I(G_1;x)$ 是对数凹的，且对所有 $1\leq i \leq \alpha(G_1)$ 有 $(a^2_i-a_{i-1}a_{i+1})b^2_1\geq a_ia_{i-1}b_2$，则 $I(G_1[G_2];x)$ 是对数凹的；(ii) 若对 $1\leq i\leq \alpha(G_1)$ 有 $a_{i-1}\leq b_1a_i$，则 $I(G_1[G_2];x)$ 是单峰的。特别地，若 $a_i$ 关于 $i$ 递增，则 $I(G_1[G_2];x)$ 是单峰的。我们还给出了完全多部图的独立多项式为单峰或对数凹的两个充分条件。最后，对每个大于 3 的奇数正整数 $\alpha$，我们找到一个非树的连通图 $G$，使得 $\alpha(G) =\alpha$，且 $I(G; x)$ 是对称的并仅有实零点。这回答了 Mandrescu 和 Mirică 的一个问题。