图的运算与独立多项式的单峰性

给定两个图$G$和$H$，假设$\mathscr{C}=\{C_1,C_2,\ldots, C_q\}$是$G$的一个团覆盖，$U$是$V(H)$的一个子集。我们引入一种新的图运算，称为团覆盖积，记为$G^{\mathscr{C}}\star H^U$，定义如下：对于每个团$C_i\in \mathscr{C}$，添加一个图$H$的副本，并将$C_i$的每个顶点与$U$的每个顶点相连。我们证明了$G^{\mathscr{C}}\star H^U$的独立多项式为$$I(G^{\mathscr{C}}\star H^U;x)=I^q(H;x)I(G;\frac{xI(H-U;x)}{I(H;x)}),$$这推广了Gutman和Rosenfeld分别得到的关于图的冠积和根积的独立多项式的一些已知结果。基于此公式，我们证明了一些特殊图的团覆盖积保持独立多项式的对称性、单峰性、对数凹性或零点实性。作为应用，我们以统一的方式推导了几个已知事实，并解决了一些单峰性猜想和问题。