通过独立多项式实现可实现的 (reg, deg h)-对

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的有限简单图，记 $R=\Bbbk[x_1,\dots,x_n]$，其中 $I(G)$ 为边理想，$J(G)$ 为覆盖理想。我们给出 $R/J(G)$ 的 $h$-多项式的显式描述形式，这一形式可推广至任何完全平凡单项式理想的阿尔马纳对偶。随后，我们通过 $M(G)$（即 $P_G(x)=\sum_{i\ge 0} g_i x^i$ 在 $x=-1$ 处的根的重数）表达 $\textrm{deg } h_{R/I(G)}(t)$ 和 $\textrm{deg } h_{R/J(G)}(t)$。具体而言，我们证明\n\n$$\textrm{deg } h_{R/I(G)}(t)=\alpha(G)-M(G) \qquad\text{且}\qquad \textrm{deg } h_{R/J(G)}(t)=n-2-M(G),$$\n\n其中 $\alpha(G)$ 为 $G$ 的独立数。作为推论，$M(G)$ 是 $R/I(G)$ 和 $R/J(G)$ 的 $\mathfrak{a}$-不变式的负逆数。我们为 $M(G)$ 的广泛图族推导递推关系和闭式公式，并用于分析覆盖理想在和谐类中的 (reg, deg h)-对中哪些情况出现，包括实现极端行为的显式构造。我们以一个关于连通图的界限 $[\textrm{reg }(R/J(G))-\textrm{deg } h_{R/J(G)}(t)]$ 的 conjectures 为结尾。