Chordal图的高阶独立复合体的斯坦利-赖斯纳理想

对于$t\geq 2$，图$G$的$t$独立复合体$\mathrm{Ind}_t(G)$是所有$A\subseteq V(G)$的集合，使得诱导子图$G[A]$的每个连通分支最多有$t-1$个顶点。$\mathrm{Ind}_t(G)$的拓扑性质与图的组合性质密切相关。在本文中，我们关注$\mathrm{Ind}_t(G)$的斯坦利-赖斯纳理想$J_{t}(G)$，并研究其代数性质。我们证明，对于任意$t$，若$G$为Chordal图，则有\n$\mathrm{reg}(R/J_{t}(G))=(t-1)\nu_{t}(G)$且$\mathrm{pd}(R/J_{t}(G))=\mathrm{bight}(J_{t}(G))$，其中$\nu_{t}(G)$表示$J_{t}(G)$对应超图的诱导匹配数，$\mathrm{reg}$、$\mathrm{pd}$和$\mathrm{bight}$分别代表正则性、射影维数和大高度。基于上述结果，我们组合化学地描述了Chordal图的$t$独立复合体的斯坦利-赖斯纳理想是否具有线性解析以及是否满足共轭-Macaulay性质。上述公式及其后果可视为经典结果（对应于Chordal图的边理想）的一个很好的推广。