独立吸引子为独立数为 3 的图的连通性

图 G 中的独立集是指图中成对非相邻顶点的集合。图 G 的独立多项式，记为 I_G，是定义为 $1 + a_1 z + a_2 z^2+\cdots+a_d z^{d}$，其中 $a_i$ 表示具有基数为 $i$ 的独立集的数量，$d$ 为图 G 中最大独立集的基数。该 $d$ 称为图 G 的独立数。设 $G^m$ 表示 G 与自身的 m 次 lexicographic 积。图 G 的独立吸引子，记为 $\mathcal{A}(G)$，定义为 $\mathcal{A}(G) = \lim\limits_{m\rightarrow \infty} \{z: I_{G^m}(z)=0\}$，其中极限是依据在平面上所有紧子集空间上定义的 Hausdorff 度量取的。在本文中，我们研究了所有独立数为 3 的图的独立吸引子的连通性。若 $a_1 =3$，则 $\mathcal{A}(G)$ 为 $\{-1\} \cup \{z: |z+1|=1\}$。若 $a_1 >3$，我们证明如下：若 $a_2 ^2 \leq 3 a_1 a_3$，或 $3 a_1 a_3 < a_2 ^2 < 4a_3 (a_1 -1)$，则 $\mathcal{A}(G)$ 为全域不可达。若 $a_2 ^2 =4a_3 (a_1 -1)$，则当 $a_1 =5$ 时 $\mathcal{A}(G)$ 为连通的，当 $a_1$ 的其他所有值时 $\mathcal{A}(G)$ 为不可达但非全域不可达。若 $a_2 ^2 > 4a_3 (a_1 -1)$，则 $\mathcal{A}(G)$ 可以是连通的、全域不可达或不可达但非全域不可达，这取决于涉及 $a_1, a_2$ 和 $a_3$ 的进一步条件。本文提供了展示所有可能性的图的例子。