$\mathbf{W}_{p}$ 图独立多项式的对数凹性

设 $G$ 是一个 $n$ 阶图。对于正整数 $p$，如果 $n\geq p$ 且 $G$ 的每 $p$ 个两两不相交的独立集都包含在 $p$ 个两两不相交的最大独立集中，则称 $G$ 为 $\mathbf{W}_{p}$ 图。在本文中，我们证明：每个连通的 $\mathbf{W}_{p}$ 图 $G$ 是 $p$-拟正则可图的，当且仅当 $n\geq(p+1)\cdot\alpha$，其中 $\alpha$ 是 $G$ 的独立数且 $p\neq2$。这一发现确保了连通 $\mathbf{W}_{p}$ 图 $G$ 的独立多项式在满足 $(p+1)\cdot\alpha\leq n\leq p\cdot\alpha+2\sqrt{p\cdot\alpha+p}$ 且 $\frac{\alpha^{2}}{4\left( \alpha+1\right) }\leq p$，或者 $p\cdot\alpha+2\sqrt{p\cdot\alpha+p}<n\leq \frac{\left( \alpha^{2}+1\right) \cdot p+\left( \alpha-1\right) ^{2}}{\alpha-1}$ 且 $\frac{\alpha\left( \alpha-1\right) }{\alpha+1}\leq p$ 时是对数凹的。此外，团冠图 $G\circ K_{p}$ 可作为 $\mathbf{W}_{p}$ 图类的一个例子。我们进一步证明，对于足够大的 $p$，$G\circ K_{p}$ 的独立多项式总是对数凹的。