依赖多项式的超对数凹性与实根性

对于某个正整数 $m$，实系数多项式 $P(x)=\sum\limits_{k=0}^ma_kx^k$ 若满足 $a_k\geqslant 0$，若对所有 $1\leqslant k\leqslant m-1$ 都有 $a_k^2\geqslant a_{k-1}a_{k+1}$（resp. $a_k^2\geqslant \left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{m-k}\right)\cdot$ $a_{k-1}a_{k+1}$），则称其为对数凹 (resp. 超对数凹)。若 $P(x)$ 仅有实数根，则称其为实根多项式。人们已知，对数凹性、超对数凹性和实根性的条件层层严格。对于图 $G$，依赖集是指诱导子图包含至少一条边的顶点集合。图 $G$ 的依赖多项式定义为 $D(G, x):=\sum\limits_{k\geqslant 0}d_k(G)x^k$，其中 $d_k(G)$ 为图 $G$ 中大小为 $k$ 的依赖集的个数。Horrocks 证明了 $D(G, x)$ 对每个图 $G$ 都是对数凹的。本文证明，对图 $G$，若 $G$ 为 $(K_2\cup 2K_1)$-free 或包含大小为 $|V(G)|-2$ 的独立集，则 $D(G, x)$ 为超对数凹的，并给出图的实根性判据。最后，我们关注独立系统关于对数凹性的问题，提出了若干与著名 Mason 猜想密切相关的若干猜想。