具有单峰独立多项式的一族良覆盖图

如果对于任一 $k$，多项式 I(G;x) 的第 $k$ 项系数等于图 $G$ 中基数为 $k$ 的稳定集的个数，则称其为 $G$ 的独立多项式（Gutman 与 Harary，1983）。J. I. Brown、K. Dilcher 与 R. J. Nowakowski（2000）猜想良覆盖图 $G$（即所有极大独立集大小相同的图）的独立多项式是单峰的，亦即存在指标 $k$ 使得系数序列从第一项到第 $k$ 项非减，而其余系数非增。T. S. Michael 与 N. Traves（2002）给出了独立多项式非单峰的良覆盖图例子。A. Finbow、B. Hartnell 与 R. J. Nowakowski（1993）证明在某些条件下，任一良覆盖图等于某个 $G$ 的 G*，其中 G* 是通过将 $G$ 的每个顶点附加一条悬挂边所得的图。Y. Alavi、P. J. Malde、A. J. Schwenk 与 P. Erd\"{o}s（1987）问及树的独立多项式是否单峰。V. E. Levit 与 E. Mandrescu（2002）验证了某些良覆盖树（例如 $P_{n}^{*},K_{1,n}^{*}$，其中 $P_{n}$ 为 $n$ 个顶点的路，$K_{1,n}$ 为 $n$-星图）的独立多项式的单峰性。本文我们证明对任意稳定数 alpha(G) < 5 的图 $G$，G* 的独立多项式是单峰的。