完全二部图独立多项式的稳定性

如果一个图的独立多项式的所有根均位于左半平面 $\{z \in \mathbb{C} : \mathrm{Re}(z) \leq 0\}$ 内，则称该独立多项式是稳定的，同时该图本身也被称为稳定的。Brown 和 Cameron (Electron. J. Combin. 25(1) (2018) \#P1.46) 证明了完全二部图 $K_{1,n}$ 是稳定的，并提出了一个问题：\textbf{是否所有完全二部图都是稳定的？} 我们通过建立以下结果回答了这个问题：\begin{itemize} \item 完全二部图 $K_{2,n}$ 和 $K_{3,n}$ 是稳定的。\item 对于任意整数 $k\geq0$，存在整数 $N(k)\in \mathbb{N}$，使得对所有 $m>N(k)$，$K_{m,m+k}$ 都是稳定的。\item 对于任意有理数 $\ell> 1$，存在整数 $N(\ell) \in \mathbb{N}$，使得当 $m >N(\ell)$ 且 $\ell \cdot m$ 为整数时，$K_{m, \ell \cdot m}$ \textbf{不}稳定。\end{itemize}