几乎所有极好覆盖图的独立多项式的根
组合数学
2007-05-23 v1
摘要
如果多项式 I(G;x) 的第 k 个系数等于图 G 中基数为 k 的稳定集的数目，则称其为 G 的独立多项式（Gutman 与 Harary，1983）。图 G 是极好覆盖的（Favaron，1982），如果它没有孤立顶点，其阶等于 2*alpha(G)（其中 alpha(G) 是最大稳定集的大小），并且它是好覆盖的（即所有极大独立集大小相同，Plummer，1970）。例如，向 G 的每个顶点附加一条悬挂边得到极好覆盖图，记为 G*。在某些条件下，任何好覆盖图都等于某个 G 的 G*（Finbow, Hartnell 与 Nowakowski，1993）。任意图的独立多项式模最小的根为实数（Brown, Dilcher 与 Nowakowski，2000）。关于独立多项式在复平面上的根的位置以及模最小根的重数，已有若干文章研究。本文建立了联系 I(G;x) 与 I(G*;x) 系数的公式，由此表明 I(G;x) 的根的数目等于 I(G*;x) 中异于 -1 的根的数目，而 -1 作为 I(G*;x) 的重数为 alpha(G*)-alpha(G) 的根出现。我们还证明了 I(G*;x) 的实根位于 [-1,-1/(2*alpha(G*))]，而对阶为 n 的一般图我们证明其根满足 |z| > 1/(2n-1)。利用独立多项式根的性质，我们证明了独立多项式能在一般好覆盖树中区分好覆盖蜘蛛（度数大于二的顶点至多一个的好覆盖树）。
引用
@article{arxiv.math/0305227,
title = {On the Roots of Independence Polynomials of Almost All Very Well-Covered Graphs},
author = {Vadim E. Levit and Eugen Mandrescu},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0305227},
year = {2007}
}
备注
17 pages; 6 figures