关于独立多项式对称性的研究

图中的独立集是一组两两不相邻的顶点，α(G) 是图 G 中最大独立集的大小。匹配是一组互不相交的边，μ(G) 是最大匹配的基数。若 sₖ 表示图 G 中基数为 k 的独立集的个数，则 I(G;x) = s₀ + s₁x + s₂x² + ... + s_α(G)x^α(G) 称为图 G 的独立多项式（Gutman 和 Harary, 1983）。若对于 0 ≤ j ≤ α(G) 有 sⱼ = s_α-j，则称 I(G;x) 是对称的（或回文的）。已知将图 G 的每个顶点连接到两个新顶点所得到的图 G*2K₁ 具有对称的独立多项式（Stevanovic, 1998）。本文证明，对于任意图 G 及每个满足 k ≤ μ(G) 的非负整数 k，均可构造一个图 H，使得：G 是 H 的子图，I(H;x) 是对称的，且 I(G*2K₁;x) = (1+x)^k · I(H;x)。