关于几乎二部图的临界差

在图 $G=\left( V,E\right)$ 中，集合 $S\subseteq V$ 若其中任意两个顶点均不相邻，则称为\textit{独立集}。\textit{独立数} $\alpha(G)$ 是最大独立集的基数，而 $\mu(G)$ 是 $G$ 中最大匹配的边数。若 $\alpha(G)+\mu(G)$ 等于 $G$ 的阶，则 $G$ 称为\textit{K\"{o}nig-Egerv\'{a}ry 图}\cite{dem,ster}。数 $d\left( G\right) =\max\{\left\vert A\right\vert -\left\vert N\left( A\right) \right\vert :A\subseteq V\}$ 称为 $G$ 的\textit{临界差}\cite{Zhang}（其中 $N\left( A\right) =\left\{ v:v\in V,N\left( v\right) \cap A\neq\emptyset\right\}$）。已知对每张图均有 $\alpha(G)-\mu(G)\leq d\left( G\right)$\cite{Levman2011a,Lorentzen1966,Schrijver2003}。在\cite{LevMan5}中已证明对每张 K\"{o}nig-Egerv\'{a}ry 图均有 $d(G)=\alpha(G)-\mu(G)$。图 $G$ 若具有唯一圈则称为\textit{(i) 单圈图}，若只有一条奇圈则称为\textit{(ii) 几乎二部图}。在\cite{LevMan2012a,LevMan2013a}中猜想并在\cite{Bhattacharya2018}中验证了：对每张单圈非 K\"{o}nig-Egerv\'{a}ry 图 $G$ 均有 $d(G)=\alpha(G)-\mu(G)$。本文证明：若 $G$ 是阶为 $n\left( G\right)$ 的几乎二部图，则 $\alpha(G)+\mu(G)\in\left\{ n\left( G\right) -1,n\left( G\right) \right\}$。此外，对这两个值中的每一个，我们刻画了相应的图。进一步，利用这些发现，我们证明几乎二部图 $G$ 的临界差满足 $$d(G)=\alpha(G)-\mu(G)=\left\vert \mathrm{core}(G)\right\vert -\left\vert N(\mathrm{core}(G))\right\vert ,$$ 其中 $\mathrm{core}\left( G\right)$ 指所有最大独立集的交。