关于图的临界独立集的若干猜想

设 $G$ 为具有顶点集 $V(G)$ 的简单图。若集合 $S\subseteq V(G)$ 中任意两个顶点均不相邻，则称 $S$ 为独立集。对于 $X\subseteq V(G)$，$X$ 的差定义为 $d(X) = |X|-|N(X)|$；若独立集 $A$ 满足 $d(A) = \max \{d(X): X\subseteq V(G) \text{ 为独立集}\}$（可能 $A=\emptyset$），则称 $A$ 为临界独立集。设 $\text{nucleus}(G)$ 与 $\text{diadem}(G)$ 分别为 $G$ 中所有最大临界独立集的交集与并集。本文将给出涉及 $\text{nucleus}(G)$ 与 $\text{diadem}(G)$ 的 König-Egerváry 图的两个新刻画。我们还将证明图的独立数的一个相关下界。本工作回答了 Jarden、Levit 和 Mandrescu 提出的若干猜想。