图的匹配与独立集问题

设 $G$ 为一个有限简单图。对于 $X \subset V(G)$，$X$ 的差定义为 $d(X) := |X| - |N (X)|$，其中 $N(X)$ 是 $X$ 的邻域，而 $\max \, \{d(X):X\subset V(G)\}$ 称为 $G$ 的临界差。若 $d(X)$ 等于临界差，则称 $X$ 为临界集，且 ker$(G)$ 为所有临界集的交集。已知 ker$(G)$ 是 $G$ 的一个独立（顶点）集。diadem$(G)$ 是所有临界独立集的并集。若 $S$ 的任意真子集均不具有正差，则称独立集 $S$ 为具有 $d(S) > 0$ 的包含极小集。若图 $G$ 的独立数（$\alpha (G)$）与匹配数（$\mu (G)$）之和等于 $|V(G)|$，则称 $G$ 为 K\"onig-Egerv\'ary 图。已知二分图是 K\"onig-Egerv\'ary 图。本文研究每个真子集具有更小差的正差独立集，并证明了 Levit 和 Mandrescu 在 2013 年提出的一个猜想。该猜想指出，对于任意图，满足 $d(S) > 0$ 的包含极小集 $S$ 的数量至少为图的临界差。我们还给出了不等式 $|$ker$(G)| + |$diadem$(G)| \le 2\alpha (G)$（由 Short 于 2016 年证明）的简短证明。此外，给出了单圈非 K\"onig-Egerv\'ary 图的一个刻画，并证明了此类图 $G$ 的临界差等于 $\alpha (G) - \mu (G)$ 的猜想。作为结语，我们利用 Edmonds-Gallai 结构定理对 ker$(G)$ 作了评述。