不规则图中独立集的数目

我们解决了 Kahn（2001）的猜想，证明了无孤立顶点的图 $G$ 中独立集数目 $i(G)$ 的如下上界：$$i(G) \le \prod_{uv \in E(G)} i(K_{d_u,d_v})^{1/(d_u d_v)},$$ 其中 $d_u$ 为顶点 $u$ 在 $G$ 中的度。当 $G$ 为若干完全二部图的 disjoint union 时取等号。该不等式此前由 Kahn 和 Zhao 对正则图证明。我们还证明了一个类似紧下界：$$i(G) \ge \prod_{v \in V(G)} i(K_{d_v+1})^{1/(d_v + 1)},$$ 当 $G$ 为若干团（cliques）的 disjoint union 时取等号。更一般地，我们证明了这些量的加权版本的界，即独立集多项式，或等价地，图上给定逸度的硬核模型的配分函数。