图的 $k$-独立数的新方法

设 $G = (V,E)$ 为一个图，$k \ge 0$ 为整数。$k$-独立集 $S \subseteq V$ 是一个顶点集，使得由 $S$ 诱导的子图的最大度数至多为 $k$。我们用 $\alpha_k(G)$ 表示 $G$ 的 $k$-独立集的最大基数。我们证明，对于具有 $n$ 个顶点和平均度数 $d$ 的图 $G$，有 $\alpha_k(G) \ge \frac{k+1}{\lceil d \rceil + k + 1} n$，改进了 Caro 和 Tuza 此前给出的最佳一般下界 [Improved lower bounds on k-independence, J. Graph Theory 15 (1991), 99-107]。