$K_{1,r}$-free 图中的独立集、导出子图与控制集

设 $G$ 为一个图，$\mathcal{F}$ 为一个图族。定义 $\alpha_{\mathcal{F}}(G)$ 为 $G$ 中属于图族 $\mathcal{F}$ 的任意导出子图的最大阶数。对于*色数*至多为~$k$ 的图族 $\mathcal{F}$，我们证明如果 $G$ 是 $K_{1,r}$-free 的，则 $\alpha_{\mathcal{F}}(G) \le (r-1)k\gamma(G)$，其中 $\gamma(G)$ 是*控制数*。当 $\mathcal{F}$ 是空图族时，对于 $K_{1,3}$-free（无爪）图，该界简化为 $\alpha(G) \le 2\gamma(G)$，其中 $\alpha(G)$ 是 $G$ 的*独立数*。对于 $d$-正则图，这进一步细化为界 $\alpha(G) \le 2\left(\frac{d+1}{d+2}\right)\gamma(G)$，该界对于 $d \in \{2, 3, 4\}$ 是紧的。利用Ramsey理论，我们将此框架扩展到边遗传图族，表明对于 $K_{1,r}$-free 图，有 $\alpha_{\mathcal{F}}(G) \le r(K_r, \mathcal{F^*})\gamma(G)$，其中 $\mathcal{F^*}$ 是不在 $\mathcal{F}$ 中的图构成的集合。特化到 $K_q$-free 图，我们证明 $\alpha_{\mathcal{F}}(G) \le (r(K_q, K_r) - 1)\gamma(G)$。最后，对于 *$k$-独立数* $\alpha_k(G)$，我们证明如果 $G$ 是 $K_{1,r}$-free 的，其阶为 $n$ 且最小度 $\delta \ge k+1$，则 $$\alpha_k(G) \le \left( \frac{(r-1)(k+1)}{\delta - k + (r-1)(k+1)} \right) n,$$ 并且该界对所有参数都是紧的。