$(\delta, \chi_{_{\sf FF}})$-有界图族

对于任意图 $G$，$G$ 的首次适应（或 Grundy）色数记为 $\chi_{_{\sf FF}}(G)$，定义为对 $G$ 的顶点进行首次适应（贪心）着色所用颜色的最大数量。若存在函数 $f(x)$ 满足 $f(x)\rightarrow \infty$（当 $x\rightarrow \infty$），使得对于该族中任意图 $G$ 有 $\chi_{_{\sf FF}}(G)\geq f(\delta(G))$（其中 $\delta(G)$ 为 $G$ 的最小度），则称图族 $\mathcal{F}$ 是 $(\delta, \chi_{_{\sf FF}})$-有界的。我们首先给出关于 $(\delta, \chi_{_{\sf FF}})$-有界图族的一些结果并获得若干此类图族。然后我们证明对任意正整数 $\ell$，$Forb(K_{\ell,\ell})$ 是 $(\delta, \chi_{_{\sf FF}})$-有界的，其中 $K_{\ell,\ell}$ 为完全二部图。我们猜想若 $G$ 为任意无 $C_4$ 图，则 $\chi_{_{\sf FF}}(G)\geq \delta(G)+1$。我们证明了该猜想对弦图、二部图的补图以及低最小度图的有效性。