大色数图的诱导子图. VII. Gyárfás 补图猜想

若存在一个函数 $f$，使得对类中每张图的每个诱导子图 $G$ 均有 $\chi(G)\le f(\omega(G))$（其中 $\chi,\omega$ 分别表示 $G$ 的色数和团数），则称一个图类是 $\chi$-有界的。1987年，Gyárfás 猜想：对每个 $c$，若 $\mathcal{C}$ 是一个图类，使得对类中每张图的每个诱导子图 $G$ 均有 $\chi(G)\le \omega(G)+c$，则 $\mathcal{C}$ 中元素的补图类也是 $\chi$-有界的。我们证明了该猜想。事实上，更一般地，一个图类是 $\chi$-有界的，如果它具有如下性质：类中没有图含有 $c+1$ 个奇洞，它们两两不相交且彼此间无边。主要工具是一个引理：若 $C$ 是图中最短的奇洞，且 $X$ 是在 $V(C)$ 中至少有五个邻点的顶点集合，则存在一个三顶点集支配 $X$。