替代与$\chi$-有界性

若存在函数 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$，使得对于图类 $\mathcal{G}$ 中的所有图 $G$ 及其所有诱导子图 $H$，均满足 $\chi(H) \leq f(\omega(H))$，则称图类 $\mathcal{G}$ 是{\em $\chi$-有界的}。本文证明：若 $\mathcal{G}$ 是一个 $\chi$-有界类，则 $\mathcal{G}$ 在以下三种运算之一下的闭包也是 $\chi$-有界的：替代 (substitution)、沿团 (clique) 粘合、以及沿有界数量顶点粘合。此外，若 $\mathcal{G}$ 被多项式（分别为：指数）函数 $\chi$-有界，则 $\mathcal{G}$ 在替代运算下的闭包也被某个多项式（分别为：指数）函数 $\chi$-有界。另外，我们还证明：若 $\mathcal{G}$ 是一个 $\chi$-有界类，则 $\mathcal{G}$ 在“沿团粘合”与“沿有界数量顶点粘合”这两种运算共同作用下的闭包是 $\chi$-有界的；同样，$\mathcal{G}$ 在“替代”与“沿团粘合”这两种运算共同作用下的闭包也是 $\chi$-有界的。