图的交集与 $\chi$-boundedness

给定 $k$ 个图 $G_{1}, \ldots, G_{k}$，它们的交集是图 $(\cap_{i\in [k]}V(G_{i}), \cap_{i\in [k]}E(G_{i}))$。给定 $k$ 个图类 $\mathcal{G}_{1}, \ldots , \mathcal{G}_{k}$，我们称类 $\{G: \forall i \in[k], \exists G_{i} \in \mathcal{G}_{i} \text{ 使得 } G=G_{1}\cap \ldots \cap G_{k}\}$ 为 $\mathcal{G}_{1}, \ldots , \mathcal{G}_{k}$ 的图交叉。本文的主要动机是理解图交叉在何种条件下保持 $\chi$-boundedness。我们考虑以下两个问题：哪些图类具有属性，即其与每个 $\chi$-bounded 图类的图交叉仍是 $\chi$-bounded 的？我们称此类图为交叉wise $\chi$-guarding。我们证明了具有某种分解性质的图类是交叉wise $\chi$-guarding。我们提供了有限图集 $\mathcal{H}$ 若干必要条件，若类 $\mathcal{H}$-free 图是交叉wise $\chi$-guarding。我们描述了由单个被禁止诱导子图定义的交叉wise $\chi$-guarding 类。哪些图类具有属性，即其每个 $k$-倍图交叉都是 $\chi$-bounded 的？我们称此类图为交叉wise self-$\chi$-guarding。我们研究由单个被禁止诱导子图定义的交叉wise self-$\chi$-guarding 类，并证明了一种结果，允许我们从已知的交叉wise $\chi$-guarding 类构造交叉wise self-$\chi$-guarding 类。