遗传族的渐近 $\chi$-有界性

如果图族 ${\cal F}$ 中几乎每个图 $G$ 都满足 $\chi(G) \le f(\omega(G))$，则称该图族以函数 $f$ 为界渐近 $\chi$-有界。如果不包含 $H$ 作为导出子图，则称该图为 $H$-free。我们探讨哪些遗传族是渐近 $\chi$-有界的，并讨论了一些相关问题。我们证明，对于每棵树 $T$，几乎所有的 $T$-free 图 $G$ 都满足 $\chi(G)=\omega(G)$。我们证明，对于除 $C_6$ 外的每个圈 $C_k$，几乎每个 $C_k$-free 图 $G$ 都满足 $\chi(G) = \omega(G)$。我们证明 $C_6$-free 图是渐近 $\chi$-有界的，其界函数为 $f(w)=(1+o(1))\frac{w^2}{\log w}$。