击中$P_5$-自由图中所有最大稳定集

我们证明每个具有有界团数的$P_5$-自由图都包含一个击中其所有最大稳定集的小命中集。更一般地，若对某个图类$\mathcal{C}$存在函数$h:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$使得对每一$G\in \mathcal{C}$有$\eta(G)\leq h(\omega(G))$（其中$\eta(G)$表示$G$中击中所有最大稳定集的最小基数，$\omega(G)$为$G$的团数），则称该类$\mathcal{C}$是$\eta$-有界的。此外，若进一步可取$h$为多项式，则称$\mathcal{C}$是多项式$\eta$-有界的。我们受Alon的一个问题启发并鉴于其与$\chi$-有界性的诸多有意义的相似性而引入$\eta$-有界性。特别地，我们提出Gy\'{a}rf\'{a}s-Sumner猜想的类似物：所有$H$-自由图类是$\eta$-有界的当且仅当$H$是森林。与$\chi$-有界性类似，$H$为星的情形易于验证，我们证明了两个非平凡推广：$H$-自由图是$\eta$-有界的若（1）$H$有一个与$H$所有边关联的顶点，或（2）$H$可由一颗星通过至多一次、恰一次地细分一条边得到。与$\chi$-有界性不同，$H$为路径的情形出奇地困难。开头所述的主要结果表明$P_5$-自由图是$\eta$-有界的。相较于确立对所有$t$的$P_t$-自由图$\chi$-有界性的经典“Gy\'{a}rf\'{a}s路径”论证，该证明相当复杂。对于$t\geq 6$，$P_t$-自由图是否$\eta$-有界仍属开放问题。且$P_5$-自由图是否多项式$\eta$-有界亦未解决，若为真则将蕴含$P_5$-自由图上的Erd\H{o}s-Hajnal猜想。但我们证明了若$H$是$P_5$的真诱导子图，则$H$-自由图是多项式$\eta$-有界的。