齐次集、团分离器、临界图与最优 $\chi$-界函数

给定一个图集 $\mathcal{H}$，令 $f_\mathcal{H}^\star\colon \mathbb{N}_{>0}\to \mathbb{N}_{>0}$ 为无 $\mathcal{H}$ 图类的最优 $\chi$-界函数，即 $$f_\mathcal{H}^\star(\omega)=\max\{\chi(G): G\text{ 是无 }\mathcal{H}\text{ 图, } \omega(G)=\omega\}.$$ 本文结合齐次集和团分离器这两种分解方法，以确定无 $P_5$ 图和无 $(C_5,C_7,\ldots)$ 图的子类的最优 $\chi$-界函数。特别地，我们对每个 $\omega\geq 1$ 证明以下结论：(i) $\ f_{\{P_5,\text{横幅}\}}^\star(\omega)=f_{3K_1}^\star(\omega)\in \Theta(\omega^2/\log(\omega)),$ (ii) $\ f_{\{P_5,\text{余横幅}\}}^\star(\omega)=f^\star_{\{2K_2\}}(\omega)\in\mathcal{O}(\omega^2),$ (iii) $\ f_{\{C_5,C_7,\ldots,\text{横幅}\}}^\star(\omega)=f^\star_{\{C_5,3K_1\}}(\omega)\notin \mathcal{O}(\omega),$ 以及 (iv) $\ f_{\{P_5,C_4\}}^\star(\omega)=\lceil(5\omega-1)/4\rceil.$ 我们还刻画了，对于我们考虑的每个图类，所有满足对每个 $u\in V(G)$ 都有 $\chi(G)>\chi(G-u)$ 的图 $G$。从这些结构性结果出发，我们能够证明 Reed 猜想——该猜想关联了图的色数、团数和最大度——对无 $(P_5,\text{横幅})$ 图成立。