禁圈图的强团数

给定图 $G$，其强团数记为 $\omega_S(G)$，是指边集 $S$ 的最大基数，使得 $S$ 中每对边在 $G$ 的线图中的距离至多为 $2$。作为著名的 Erd\H{o}s--Ne\v{s}et\v{r}il 强色指数猜想的弱化，Faudree 等人建议研究强团数，并猜想其关于最大度存在二次上界。近来，Cames van Batenburg、Kang 与 Pirot 猜想对无偶圈图存在关于最大度的线性上界：若 $G$ 为 $C_{2k}$-自由图，则 $\omega_S(G)\leq (2k-1)\Delta(G)-{2k-1\choose 2}$；若 $G$ 为 $C_{2k}$-自由二部图，则 $\omega_S(G)\leq k\Delta(G)-(k-1)$。我们以更强形式证明了第二个猜想，表明无需禁绝所有奇圈。确切地说，我们证明当 $k\geq 4$ 或 $k\in \{2,3\}$ 且 $G$ 同时为 $C_3$-自由时，$\{C_5, C_{2k}\}$-自由图 $G$（$\Delta(G)\ge 1$）满足 $\omega_S(G)\leq k\Delta(G)-(k-1)$。关于第一个猜想，我们证明了仅常数项有偏差的上界：对 $k\geq 3$，证明 $C_{2k}$-自由图 $G$（$\Delta(G)\ge 1$）满足 $\omega_S(G)\leq (2k-1)\Delta(G)+(2k-1)^2$。这改进了 Cames van Batenburg、Kang 与 Pirot 的若干结果。