关于图的 Grundy 数的更多界

图 $G=(V,E)$ 的着色是将 $V$ 划分为独立集或色类 $\{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$。若顶点 $v\in V_i$ 对每个 $j<i$ 都与每个色类 $V_j$ 中至少一个顶点相邻，则称其为 Grundy 顶点。若每个顶点均为 Grundy 顶点，则该着色为 Grundy 着色，图 $G$ 的 Grundy 数 $\Gamma(G)$ 是 Grundy 着色中颜色的最大数目。我们给出了图的 Grundy 数的两个新上界，以及著名的 Nordhaus-Gaddum 定理的一个更强版本。此外，通过支持 Zaker 的猜想（即对任何 $C_4$-free 图 $G$ 均有 $\Gamma(G)\geq \delta(G)+1$），我们给出了 $\{P_{4}, C_4\}$-free 图的一个新刻画。