关于图的 $z$-色数更多的结论

图的 $z$-染色意指任一恰当顶点染色，由颜色类 $C_1, \ldots, C_k$ 组成，使得 $(i)$ 对任意两颜色 $i$ 和 $j$（其中 $1 \leq i < j \leq k$），任意颜色 $j$ 的顶点与一颜色 $i$ 的顶点相邻；$(ii)$ 存在图 $G$ 的顶点集 $\{u_1, \ldots, u_k\}$ 使得对任意 $j \in \{1, \ldots, k\}$ 有 $u_j \in C_j$，且对每个 $1 \leq j \leq k$ 且 $j \not=k$ 有 $u_k$ 与 $u_j$ 相邻；$(iii)$ 对每个 $i$ 和 $j$ 且 $i \not= j$，顶点 $u_j$ 在 $C_i$ 中有邻居。记 $z(G)$ 为 $G$ 的任一 $z$-染色中所用颜色的最大数目。分别记 $G$ 的 Grundy 数和 ${\rm b}$-色数为 $\Gamma(G)$ 和 ${\rm b}(G)$。$z$-染色是对图的 Grundy 染色和 b-染色的改进。我们通过获得图的一个无穷序列 $\{G_n\}_{n=3}^{\infty}$ 使得对每个 $n\geq 3$ 有 $z(G_n)=n$ 但 $\Gamma(G_n)={\rm b}(G_n)=2n-1$，证明了对无穷多图 $G$ 有 $z(G)$ 远优于 $\min\{\Gamma(G), {\rm b}(G)\}$。我们展示无环图是 $z$-单调且 $z$-连续的。然后证明判定是否 $z(G)=\Delta(G)+1$ 即使是对于二部图 $G$ 也是 $NP$-完全的。我们最后证明识别满足 $z(G)=\chi(G)$ 的图 $G$ 是 $coNP$-完全的，改进了先前关于 Grundy 数的结果。