大围长图的b-连续性与部分Grundy着色

图的一个b-着色是一种正常着色，使得每个颜色类中至少有一个顶点与所有其他颜色类相邻。图$G$的b-谱是整数$k$的集合$S_{b}(G)$，使得$G$有一个使用$k$种颜色的b-着色，且$b(G)=\max S_{b}(G)$是$G$的b-色数。如果$S_{b}(G)=[\chi(G),b(G)]\cap \mathbb{Z}$，则称该图是b-连续的。已知有无穷多个图不是b-连续的。同时也已知围长至少为10的图是b-连续的。部分Grundy着色是一种正常着色$f:V(G)\rightarrow \{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类$i$包含某个顶点$u$，该顶点与每个满足$j<i$的颜色类$j$相邻。图$G$的部分Grundy数是使得$G$具有部分Grundy着色的最大值$\partial\Gamma(G)$。在这项工作中，我们证明了围长至少为8的图是b-连续的，并且围长至少为7的图$G$的b-谱包含介于$2\chi(G)$和$b(G)$之间的整数。我们还证明了当$G$是围长至少为7的图时，$\partial\Gamma(G)$等于一个已知的上界。这些结果推广了Linhares-Sales和Silva（2017）以及Shi等人（2005）的先前结论。