b-染色在余二分图上为 NP 难问题而在树余图上为多项式时间可解
计算复杂性
2023-04-04 v2 离散数学
组合数学
摘要
图的 b-染色是一种正常染色，使得每个色类包含一个与所有其他色类相邻的顶点。图 G 的 b-色数（记为 ）是使得 G 存在 t 色 b-染色的最大整数 t。若图 G 对每个 都存在 t 色 b-染色，则称其为 b-连续的；若对 G 的每个诱导子图 及其每个诱导子图 都有 ，则称其为 b-单调的。本文研究了稳定数为二的图的 b-色数。这类图恰好是无三角形图的补图，因此包含了所有二分图的补图。本文的主要结果如下：- 我们根据不含长度为 1 或 3 的增广路的匹配，刻画了稳定数为二的图的 b-染色。由此推导出稳定数为二的图是 b-连续且 b-单调的。- 我们证明了判定余二分图的 b-色数是否不超过给定阈值是 NP 完全的。- 我们描述了一种多项式时间的动态规划算法，用于计算余树的 b-色数。- 在扩展若干先前结果的基础上，我们展示了存在一种多项式时间的动态规划算法来计算树余图（tree-cographs）的 b-色数。此外，我们证明了树余图是 b-连续且 b-单调的。
引用
@article{arxiv.1310.8313,
title = {b-coloring is NP-hard on co-bipartite graphs and polytime solvable on tree-cographs},
author = {Flavia Bonomo and Oliver Schaudt and Maya Stein and Mario Valencia-Pabon},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.8313},
year = {2023}
}