图积的 fall-着色与 b-着色

给定图$G$的一个正常着色$f$，$f$中的 b-顶点是指与该顶点自身颜色类之外的所有颜色类均相邻的顶点。如果每个颜色类至少包含一个 b-顶点，则称为 b-着色；如果每个顶点都是 b-顶点，则称为 fall-着色。$G$的 b-色数是$G$存在具有$b(G)$种颜色的 b-着色的最大整数$b(G)$，而$G$的 fall-色数和 fall-异色数分别是$G$存在 fall-着色的最小和最大整数$f_1(G),f_2(G)$。在本文中，我们探讨了 b-同态和 II 型同态的概念，它们推广了 b-着色和 fall-着色的概念，并提出了关于图积的一些元定理。由此，我们推导出了关于图积这些度量的一些已知事实。我们还对 Kaul 和 Mitillos 提出的关于完美图 fall-着色的问题给出了否定回答。