图的 b-色数临界值复杂性二分定理

图 $G$ 的一个 $b$-染色是其顶点的一种正常染色,使得每个颜色类包含至少一个在所有其他颜色类中都有邻居的顶点。b-染色问题询问图 $G$ 是否存在使用 $k$ 种颜色的 $b$-染色。图 $G$ 的 $b$-色数记为 $\chi_b(G)$,是使得 $G$ 存在使用 $k$ 种颜色的 $b$-染色的最大整数 $k$。我们考虑 b-染色问题在 $k$ 接近 $\chi_b(G)$ 的两个上界之一时的复杂性:最大度 $\Delta(G)$ 加一,以及 $m$-度(记为 $m(G)$),其定义为使得 $G$ 有 $i$ 个度数至少为 $i-1$ 的顶点的最大整数 $i$。我们得到一个二分结果:对于固定的 $k \in \{\Delta(G) + 1 - p, m(G) - p\}$,当 $p \in \{0, 1\}$ 时问题是多项式时间可解的,而即便 $k = 3$,当 $p \ge 2$ 时问题是 NP-完全的。我们进一步考虑涉及输入图 $G$ 的最大度 $\Delta(G)$ 的 b-染色问题参数化并给出两个 FPT 算法。首先,我们证明判定图 $G$ 是否存在使用 $m(G)$ 种颜色的 $b$-染色是以 $\Delta(G)$ 为参数的 FPT 问题。其次,我们证明 b-染色以 $\Delta(G) + \ell_k(G)$ 为参数是 FPT 的,其中 $\ell_k(G)$ 表示度数至少为 $k$ 的顶点数。