给定围长图的强制数

本文研究图 $G$ 顶点的动态着色，该过程从一个初始着色顶点子集 $S$ 开始，其余所有顶点未着色。在每个离散时间间隔，恰好有一个未着色邻居的着色顶点会强制该未着色邻居被着色。如果通过迭代应用强制过程，图 $G$ 中的每个顶点都被着色，则初始集 $S$ 称为 $G$ 的强制集。强制数，最初称为\emph{零强制数}，记为 $F(G)$，是 $G$ 的最小强制集的基数。我们研究了强制数关于其最小度 $\delta$ 和围长 $g$ 的下界，其中图 $G$ 的围长 $g$ 是图中最短环的长度。设 $G$ 为最小度 $\delta \ge 2$ 且围长 $g \ge 3$ 的图。Davila 和 Kenter [Theory and Applications of Graphs, Volume 2, Issue 2, Article 1, 2015] 猜想 $F(G) \ge \delta + (\delta-2)(g-3)$。该猜想最近已在 $g \le 6$ 时被证明。当围长 $g \ge 7$ 且最小度足够大时，该猜想也被证明成立。具体而言，当 $g = 7$ 且 $\delta \ge 481$，当 $g = 8$ 且 $\delta \ge 649$，当 $g = 9$ 且 $\delta \ge 30$，以及当 $g = 10$ 且 $\delta \ge 34$ 时成立。在本文中，我们证明了该猜想在 $g \in \{7,8,9,10\}$ 且对于所有 $\delta \ge 2$ 的值均成立。