图的最小秩与失败零强迫数

设 $G$ 是一个简单、有限且无向的图，其每个顶点初始着色为蓝色或白色。图 $G$ 上的零强迫是一个迭代过程，在有限次应用指定的颜色变化规则后，迫使其白色顶点变为蓝色。如果在指定的颜色变化规则下，经过有限次零强迫迭代后，能得到一个更新后的着色，使得 $G$ 的所有顶点均为蓝色，则称 $G$ 的一个初始蓝色顶点集 $S$ 为 $G$ 的一个零强迫集。否则，我们称 $S$ 为 $G$ 在指定颜色变化规则下的一个失败零强迫集。不难看出，失败零强迫集的任何子集也是失败的。因此，我们的兴趣在于失败零强迫集的最大可能基数，我们将其称为 $G$ 的失败零强迫数。在本文中，我们考虑两种颜色变化规则——标准和正半定。我们计算了几个图族的失败零强迫数。此外，在每个图族下，我们刻画了失败零强迫数等于 $G$ 的最小秩的图 $G$。