关于函数图的零强迫数

图$G$的\emph{零强迫数}$Z(G)$是使$V(G)$在经过有限次应用“变色规则”后全部变为黑色的黑色顶点集合$S$的最小基数（其中$V(G) \setminus S$中的顶点为白色）。变色规则是：如果一个黑色顶点只有一个白色邻居，则该白色顶点变为黑色。零强迫数由“AIM最小秩——特殊图工作组”引入，用于界定图的最小秩。设$G_1$和$G_2$是图$G$的两个不相交的副本，并设$f: V(G_1) \rightarrow V(G_2)$是一个函数。则\emph{函数图}$C(G, f)=(V, E)$的顶点集为$V=V(G_1) \cup V(G_2)$，边集为$E=E(G_1) \cup E(G_2) \cup \{uv \mid v=f(u)\}$。对于阶数$n \ge 3$的连通图$G$，容易看出对于任意置换$\sigma$，有$1+\delta(G) \le Z(C(G, \sigma)) \le n$；我们证明对于任意函数$f$，有$1+ \delta(G) \le Z(C(G, f)) \le 2n-2$，其中$\delta(G)$是$G$的最小度。我们给出例子表明不存在函数$g$使得对于每一对$(G,f)$，有$Z(G)<g(Z(C(G,f)))$或$g(Z(G))>Z(C(G,f))$。我们进一步研究了完全图、圈和路径上的函数图的零强迫数。