关于图的零强迫数猜想的证明

Amos 等人 (Discrete Appl. Math. 181 (2015) 1-10) 引入了图的 $k$-强迫数概念，作为正整数 $k$ 下图零强迫数的推广。简单图 $G$ 的 $k$-强迫数，记作 $F_k(G)$，是在如下离散动力学过程中，为使所有顶点最终都被染色而需要初始染色的最少顶点数。该过程从初始染色顶点集开始，当所有顶点都被染色时停止：若一个已染色顶点至多有 $k$ 个未染色邻居，则其每个未染色邻居都被染色。特别地，$F_1(G)$ 是一个被广泛研究的不变量，与图的最大零度密切相关，称为零强迫数，记作 $Z(G)$。作者证明了，对于阶为 $n$ 且 $\Delta=\Delta(G)\geq 2$ 的连通图 $G$，有 $Z(G)\leq \frac{(\Delta-2)n+2}{\Delta-1}$，且该不等式是紧的。此外，他们猜想 $Z(G)=\frac{(\Delta-2)n+2}{\Delta-1}$ 当且仅当 $G=C_n$、$G=K_{\Delta+1}$ 或 $G=K_{\Delta, \Delta}$。在本文中，我们证明上述猜想成立。